Conjetura de Sara

La conjetura capicúa afirma, o afirmaba, que al sumar un número con su invertido e iterar el proceso se obtiene un número capicúa en un número finito de iteraciones.

La Conjetura de Sara determina el máximo de iteraciones en las que se debe capicuar cualquier número natural en base 10... de no hacerlo en el intervalo previsto entonces el número nunca se volverá capicúa.

La Conjetura de Sara clasifica a 196 como número de Lychrel, debido a que no se capicúa en menos de 53 iteraciones y, por ese mismo motivo, acaba con el sueño de los que aspiran a capicuar el famoso 196 mediante el auxilio de autómatas.

Explicación:

Si n no se capicúa en una cantidad de   entonces es un número de Lychrel. Se denomina iteración capicúa (Ic) al proceso consistente en escribir el número, invertirlo y sumar.

Ejemplo: Si 125 no se capicuara en   iteraciones, o menos,

 entonces seria declarable número de Lychrel… 125 se capicúa en una sola

iteración. Dado que para 196 transcurren más de   iteraciones sin capicuarse, entonces ingresa a la categoría de número de Lychrel y se torna inutil todo intento de llegar a un capicúa a través de cualquier programa de ordenador… si la Conjetura de Sara no es refutada.

De otra parte, la Conjetura de Sara dice qué clase de números se capicuan en determinada cantidad de iteraciones:

Es decir, si queremos encontrar números que se capicuen en 53 o más iteraciones entonces ellos son:    

Por tanto, ningún número menor que 197 se capicúa en 53 o más iteraciones.

No se afirma que todo número mayor que 196 se debe capicuar en más de 53 iteraciones; pero sí que debe ser mayor que 196 para capicuarse en 53 o más iteraciones.

La Conjetura de Sara, si se tiene en cuenta que el proceso capicuador  es aplicable a todo n, se puede expresar como:

 ;   1, 2, 3, 4 se capicuan en una iteración.

 (Recordar que no se refiere a todo n) por ende, existen infinidad de números naturales en base 10 que se capicuan en una sola iteración.

¿Es demostrable, o refutable, la Conjetura de Sara?

¿Qué ha impedido a los matemáticos demostrar la existencia de números de Lychrel?

El menor número sospechoso de ser número de Lychrel es el 196 y a él se han dedicado la mayor cantidad de esfuerzos teóricos y computacionales… sin ningún resultado satisfactorio, excepto la alegría de  batir récords de iteraciones con la ayuda de ordenadores.